\(4^{x-\frac{1}{x}}+16^{x-\frac{1}{x}}=72\)
\(4^{x-\frac{1}{x}}+(4^{x-\frac{1}{x}})^2=72\) уводимо смену \((4^{x-\frac{1}{x}}=t)\)
\(t^2+t-72=0\) Па користећи Вијетове формуле добијамо да је \(t_1=-9\) и \(t_2=8\). Решење \(t_1=-9\) не прихватамо. Па добијамо: \(2^{x-\frac{1}{x}}=2^2\), односно \(2x^2-3x-2=0\Rightarrow x^2-\frac{3}{2}-1=0\) па је \(x_1x_2=-1\).

\(\left ( \frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a^{3}}+\sqrt{b^{3}}}:\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-\sqrt{ab}+b} \right )\cdot \left ( a+b+2\sqrt{ab} \right )=\) \(\left ( \frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{2\sqrt{a}}{\left (\sqrt{a}+\sqrt{b}  \right )\left ( a-\sqrt{ab}+b \right )}\frac{a - \sqrt{ab}+b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \right )\cdot \left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )^{2}=\) \(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}-2\sqrt{a}}{\left (\sqrt{a}+\sqrt{b}  \right )\left ( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right )}\cdot \left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )^{2}=\) \( \frac{-\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\left ( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right )}\cdot \left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )=\)\( -\sqrt{a}-\sqrt{b} \)

\(a=225^{\frac{1}{2}-\log_{15}\sqrt[4]{9}}=225^{\frac{1}{2}\left (1-\log_{15}3 \right )}=\\ 15^{1-\log_{15}3 }=\frac{15}{15^{\log_{15}3 }}=\frac{15}{3}=5\\ (a-4)^{a}=(5-1)^{5}=1\)

\(1+\log_{2}(2^{x}-1)=\log_{2^{x}-1}64\)
\(2^{x}-1>0 \wedge 2^{x}-1\neq 1 \Rightarrow x>0 \wedge x\neq 1\)
\(1+\log_{2}(2^{x}-1)=\frac{6}{\log_{2}(2^{x}-1)}\)
\(\log_{2}(2^{x}-1)=t\)
\(1+t=\frac{6}{t}/t\neq 0\)
\(t^{2}+t-6=0 \Rightarrow t=-3 \vee t=2\)
\(\log_{2}(2^{x}-1)=-3 \vee \log_{2}(2^{x}-1)=2\)
\(2^{x}-1=2^{-3} \vee 2^{x}-1=2^{2}\)
\(x_1=\log_{2}\frac{9}{8} \vee x_2=\log_{2}5\)
\(a=x_1+x_2=\log_{2}\frac{9}{8} +\log_{2}5=\log_{2}\frac{45}{8}\)
\(2^{a+3}=2^{a}\cdot 2^{3}=\frac{45}{8}\cdot 8=45\)

\(S_9=164+S_5 = \frac{9}{2}(a_1+a_9)=\frac{5}{2}(a_1+a_5) \)
\( \frac{9}{2}(a_1+a_1+8d)=\frac{5}{2}(a_1+a_1+4d)\)
\(2a_1=82-13d\)

\(a_9+14=2a_6 \Rightarrow a_1+8d+14=2a_1+10d \)
\(a_1=14-2d\)

\(2(14-2d)=82-13d \Rightarrow d=6\), а онда су \( a_1=2, a_2=8\) па је 
\(a_1\cdot a_2=2\cdot 8=16\)

Једначина праве која пролази кроз \(AB\) је \(\frac{x-xA}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-y_A}\) односно \(y=-3x+5\). Коефицијент правца нормале је \( \frac{1}{3}\), па ће нормала имати облик \(y=\frac{1}{3}x+n\). Како њој припада тачка  \(C(6,-3)\), заменом њених координата добијамо да је \(n=-5\). Односно једначина нормале је  \(y=\frac{1}{3}x-5\). Да бисмо пронашли тачку пресека праве  \(y=-3x+5\) и нормале  \(y=\frac{1}{3}x-5\) изједначимо њихове вредности \(-3x+5=\frac{1}{3}x-5\). Тако да добијамо \(x=3\) и \(y=-4\), па је \(x_0\cdot y_0=-12\).

\(2+4^{\sqrt{x^{2}-3}+x-3}=6\cdot 2^{\sqrt{x^{2}-3}+x-4}\)
\(x^{2}-3\geqslant 0 \Rightarrow x\in \left (-\infty , -\sqrt{3} \right ]\cup \left [ \sqrt{3},+\infty \right )\)
\(2+4\cdot \left (2^{\sqrt{x^{2}-3}+x-4} \right )^{2}=6\cdot 2^{\sqrt{x^{2}-3}+x-4}\)
\(2^{\sqrt{x^{2}-3}+x-4}=t\)
\(2+4t^{2}=6t \Rightarrow 2t^{2}-3t+1=0 \Rightarrow t=1 \vee t=\frac{1}{2}\)
\(2^{\sqrt{x^{2}-3}+x-4}=1=2^{0} \vee 2^{\sqrt{x^{2}-3}+x-4}=\frac{1}{2}=2^{-1}\)
\(\sqrt{x^{2}-3}+x-4=0 \vee \sqrt{x^{2}-3}+x-4=-1\)
\(\sqrt{x^{2}-3}=4-x \vee \sqrt{x^{2}-3}=3-x\)
\(4-x\geqslant 0 \wedge 3-x\geqslant 0 \wedge x\in \left (-\infty , -\sqrt{3} \right ]\cup \left [ \sqrt{3},+\infty \right ) \)\(\Rightarrow x\in \left (-\infty , -\sqrt{3} \right ]\cup \left [ \sqrt{3},3\right ]\)
\(x^{2}-3=16-8x+x^{2} \vee x^{2}-3=9-6x+x^{2}\)
\(x_1=\frac{19}{8}=2\frac{3}{8} \vee x_2=2\)
\(x_1\cdot x_2=\frac{19}{4}\)

\((x^3+\frac{1}{x})^{12}\)
\((x^3)^{12-5}\cdot(\frac{1}{x})^k=x^0\)
\(x^{3(12-k)-k}=x^0\)
\(4k=36\Rightarrow k=9\) пошто бројимо од  \(k=0\), тада је  \(k=9\) десети члан

\(\log \sqrt{x-2}+3\log \sqrt{x+2}=\frac{1}{2}+\log \sqrt{x^{2}-4}\)
\(x-2>0 \wedge x+2>0 \wedge x^{2}-4>0 \Rightarrow x>2\)

\(\log \frac{\sqrt{x-2}\cdot \sqrt{x+2}^{3}}{\sqrt{x^{2}-4}}= \frac{1}{2}=\log 10^{\frac{1}{2}}\)
\(\frac{\sqrt{x-2}\cdot \sqrt{x+2}^{3}}{\sqrt{x^{2}-4}}= \sqrt{10}\)
\(x+2=\sqrt{10}\)
\(x=\sqrt{10}-2\approx -1,1\)

Због услова закључујемо да једначина нема решења.

Ако \(12\) радника, радећи \(5\) дана, зараде \(125000\) динара, тада ће \(12\) радника, радећи 1 дан, да зараде \(125000:5=25000\) динара, односно тада ће 1 радник, радећи 1 дан, да заради \(25000:12=\frac{6250}{3}\) динара. Одатле можемо да закључимо да ће 15 радника, радећи 1 дан, да зараде \( \frac{6250}{3}\cdot 15=31250\) динара. А ако раде \(6\) дана \(31250\cdot 6=187500\) динара.

\(\sin\alpha=\frac{15}{17}\)
\(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha=1\Rightarrow \cos\alpha=-\frac{8}{17}\)
\(\cos(\frac{\pi}{4}-\alpha)=\cos\frac{\pi}{4}\cos\alpha+\sin\frac{\pi}{4}-\sin\alpha=\frac{7\sqrt{2}}{34}\)

\( \frac{8}{3-\sqrt{5}}-\frac{2}{2+\sqrt{5}}=  \frac{8(3+\sqrt{5})}{3^2-\sqrt{5}^2}-\frac{2}{2+\sqrt{5}} \cdot \frac{2-\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}}=  \frac{8(3+\sqrt{5})}{9-5}-\frac{2(2-\sqrt{5})}{-1}=10 \)
 

 

 

\(P(x)=x^5+ax^3+bx\)
\(Q(x)=x^2+2x+1=(x+1)^2\)
\(\Rightarrow x+1 | P(x) \wedge x+1 | R(x)\)
\(R(x)=P(x):(x+1)\)

\(P(-1)=-1-a-b=0\)
\(R(-1)=1+1+a+1+a+1+a+b+1=0\)
\(a=-2, b=1 \Rightarrow a^2+b^2=5\)

\(\sin(x-\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}\)
\(x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}+2k\pi   \vee  x-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\)   
\(x=\frac{\pi}{2}+2k\pi   \vee  x=\frac{7\pi}{6}+2k\pi  \) 
\(x\in\{\frac{\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{6}, -\frac{5\pi}{12}\}  \)

\( a_5=16\Rightarrow a_1+4d=16\Rightarrow a_1=16-4d \)
\( a_11=31\Rightarrow a_1+10d=31 \) односно \(16-4d+10d=31\)
 \(d=\frac{5}{2} \)
\( a_1=6 \)
\( S_{17}=\frac{17}{2}(2\cdot 6+16\frac{5}{2})=442 \)

\(2^{x^2-3x}+(\frac{1}{2})^{x^2-3x-4}=17\) , уведимо смену \(2^{x^2-3x}=t\) па добијамо \(t+\frac{1}{t}(\frac{1}{2})^{-4}=17\) односно \(t^2-17t+16=0\) . Применом Вијетових формула добијамо \(t_1=16\) и \(t_2=2\) .

\( 2^{x^2-3x}=16 \vee 2^{x^2-3x}=2 \)
\( x^2-3x-4=0 \vee x^2-3x-1=0 \)
\( x_1=4 \vee x_2=-1 \vee x_3=\frac{3+\sqrt{13}}{2} \vee x_4=\frac{3-\sqrt{13}}{2} \)
\( x_1+ x_2 + x_3 + x_4=6\)
 

\(\frac{sin(\alpha+\beta)+sin(\alpha-\beta)}{cos(\alpha+\beta)+cos(\alpha-\beta)}=  \frac{2sin\frac{2\alpha}{2}cos{2\beta}{2}}{2cos\frac{2\alpha}{2}cos{2\beta}{2}}=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}=tg\alpha \)

\(log_\sqrt{5}\Rightarrow log_25=2a\)
\(\log_{10}2=\frac{1}{log_25+1}=\frac{1}{2a+1}\)

Размотримо услове \(2x^2 - x + 3\geq0\) и \( x +1\geq0\), како је \(2x^2 - x + 3\) увек позитивно закључујемо коначно  \(x\geq -1\) .
\(\sqrt{2x^2 - x + 3} = x +1/^2\)
\(2x^2 - x + 3 = x^2 +2x+1\)
\(x^2-3x+2=0\) па је \(x_1=1\) и \(x_2=2\) односно \(x_1+x_2=3\)

\( log_64=2log_62=\frac{2}{log_23+1}=\frac{2}{a+1}\)