\(x+y=2600 \Rightarrow y=2600-x\\ y-150=30\%(x+150) \Rightarrow \\2600-x-150=\frac{30}{100}(x+150)\Rightarrow x=1850,y=750 \\4x-y=110\)

\(\frac{1}{a+\frac{1}{b+\frac{1}{a}}}\cdot\frac{1}{b+\frac{1}{a}}\cdot \frac{1}{b+\frac{1}{a+\frac{1}{b}}}\cdot\frac{1}{a+\frac{1}{b}}=\) \(\frac{1}{a+\frac{a}{ab+1}}\frac{a}{ab+1}-\frac{1}{b+\frac{b}{ba+1}}\frac{b}{ab+1}=\)\(\frac{a}{a^2b+a+a}-\frac{b}{b^2a+b+b}=\frac{1}{ab+2}-\frac{1}{ab+2}=0\)

Ако \(12\) радника, радећи \(5\) дана, зараде \(125000\) динара, тада ће \(12\) радника, радећи 1 дан, да зараде \(125000:5=25000\) динара, односно тада ће 1 радник, радећи 1 дан, да заради \(25000:12=\frac{6250}{3}\) динара. Одатле можемо да закључимо да ће 15 радника, радећи 1 дан, да зараде \( \frac{6250}{3}\cdot 15=31250\) динара. А ако раде \(6\) дана \(31250\cdot 6=187500\) динара.

\( tg2\alpha=\frac{sin2\alpha}{cos2\alpha}=\frac{2sin\alpha cos\alpha}{cos^2\alpha-sin^2\alpha}=\frac{\frac{2}{3}cos\alpha}{1-2\frac{1}{9}} \)
\( sin^2\alpha +cos^2\alpha=1\Rightarrow cos^2\alpha=\frac{8}{9}\Rightarrow cos\alpha=\frac{2\sqrt{2}}{3} \)
\( tg2\alpha=\frac{\frac{2}{3}cos\alpha}{1-2\frac{1}{9}}=\frac{4\sqrt{2}}{7} \)

Нека је  \(x\)  број књига које су продате другог дана, тада је збир продатих књига сва три дана:

\(60\%x+x+\frac{3}{4}(60\%x+x)=10500\)

\(\frac{60}{100}x+x+\frac{3}{4}\left (\frac{60}{100}x+x  \right )=10500\)

\(x=3750\), дакле толико књига је продато другог дана.

Првог дана је продато: \(60\%3750=\frac{60}{100}3750=2250\) књига

\(1 + \sin 2x - 2\sin x = \cos 2x\)
\( 1 + 2\sin x \cos x - 2\sin x = \cos 2x\)
\( 2\sin x (\cos x – 1)= \cos^2x-\sin^2x-1\)
\( 2\sin x (\cos x – 1) +2\sin^2x=0\)
\( 2\sin x (\cos x-1+\sin x)=0\)
Посматрајмо прво \(\sin x=0\Rightarrow x=k\pi\) а потом размотримо  \(\cos x-1+\sin x =0\)

\( \cos x=1-\sin x\)
\( \cos^2x+\sin^2x=1\)
\( (1-\sin x)^2+\sin^2x=1\)
\( \sin x(\sin x-1)=0\) односно  \(\sin x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\)
\( x\in {0, \pi, 2\pi, 3\pi, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}}\)

\(\cos ^{2}\frac{\alpha }{2}+\cos ^{2}\alpha =\frac{1}{2}\\ \frac{1+\cos \alpha}{2}+\cos ^{2}\alpha =\frac{1}{2}\\ \cos \alpha(1+2\cos \alpha)=0\\ \cos \alpha=0 \vee \cos \alpha=-\frac{1}{2}\\ \alpha=\frac{\pi }{2}+k\pi \vee \alpha=\frac{2\pi }{3}+2k\pi \vee \alpha=\frac{4\pi }{3}+2k\pi , k\in \mathbb{Z}\\ \alpha=\frac{3\pi }{2} \vee \alpha=\frac{4\pi }{3}\\ \frac{3\pi }{2}+\frac{4\pi }{3}=\frac{17\pi }{6}\)

 \(\frac{4x-3}{x-2}>3 \)
\( \frac{4x-3-3x+6}{x-2}>0 \)
\( \frac{x+3}{x-2}>0 \)
 
\( x\in(-\infty,-3)\cup(2,+\infty)\)

\( xy=12 \Rightarrow y=\frac{12}{x} \)
\( x^2+(\frac{12}{x})^2=51 \Rightarrow x^4-51x^2+144=0\) уводимо смену \(x^2=t \)и даље решавамо \(t^2-51t+144=0\) . Одатле добијамо да је \(t_1=48 \vee t_2=3\) односно
\( x^2=48 \vee x^2=3 \)
\( x_1=4\sqrt{3} \vee x_2=-4\sqrt{3} \vee x_3=\sqrt{3} \vee x_4=-\sqrt{3} \)
\( y_1=\sqrt{3} \vee y_2=-\sqrt{3} \vee y_3=4\sqrt{3} \vee y_4=-4\sqrt{3}\)
Како је услов задатка да \(0 < x \leq y\) тада једино узимамо у обзир  \(x_3=\sqrt{3}, y_3=4\sqrt{3}\) . Тада је \(y - x^3\) једнако \(\sqrt{3} \)

На основу вредности у апсолутним заградама креирајмо таблицу из које ћемо поделити интервале решења:

\(x_1^2+x_2^2+x_3^2=99\)

\(g(x) = 3x - 2 \)
Ако знамо да је \(g^{-1}(g(x))=x\), тада је \(g^{-1}(3x - 2)=x \). Уведимо смену \(3x - 2=t \Rightarrow x =\frac{t+2}{3}\).
Тада је \(g^{-1}(t)=\frac{t+2}{3}\) и сада можемо израчунати вредност израза \(f(g^{-1} (4)) - g^{-1} (f(3))\).
\(f\left ( g^{-1}(4) \right )-g^{-1}(f(3))=f\left ( \frac{4+2}{3} \right )-g^{-1}\left ( 3^{2}+1 \right )=f(2)-g^{-1}(10)=5-4=1\).

Број је дељив са 5 ако је последња цифра тог броја 0 или 5 :
Десетоцифрених бројева чије су све цифре међусобно различите и чија је последња цифра 0 има: \(9! \).
Десетоцифрених бројева чије су све цифре међусобно различите и чија је последња цифра 5 има: \(8 \cdot 8! . \)Укупно их је: \(9!+ 8 \cdot 8!= 9 \cdot 8!+ 8 \cdot 8!= 17 \cdot 8!\)

\(J=\frac{a+b}{a-b}\frac{a-b}{a+b}=\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{a^1-b^2}=\frac{2a^2+2b^2}{a^2-b^2}=10\)

Размотримо прво услове у логаритмима \(x+1>0 \Rightarrow x>-1,\)  \(3x+1>0 \Rightarrow x>-\frac{1}{3}\) ,  \(5x-4>0 \Rightarrow x>\frac{4}{5}\) ,  \(x-2>0 \Rightarrow x>2\) , па закључујемо да \(x>2\) .

\( log_3(x+1)-log_3(3x-1)+log_3(5x-4)=2log_3(x-2) \)
\( log_3\frac{(x+1)(5x-4)}{3x-1}=log_3(x-2)^2 \)
\( (x+1)(5x-4)=(3x-1)(x-2)^2 \)
\( 3x^3-18x^2+15x=0 \)
\( 3x(x^2-6x+5)=0 \)
 \(x_1=0 \vee x_2=5 \vee x_3=1\) прихаватамо само решење  \(x_2=5\) , јер остала не задовољавају критеријум услова.

Тачан је исказ: \(f_1\neq f_2 \neq f_3 \neq f_1\) , због разлике у домену и кодомену функција.

1. \(x-1\geq0 \Rightarrow x\geq 1 \)
\( x-1+2x=5 \)
\( 3x=6 \)
\( x=2\) 
2. \(x-1<0 \Rightarrow x< 1 \)
\( -x+1+2x=5 \)
\( x=4 ,\) ово решење не прихватамо јер не припада интервалу.

\( (a^{-1}+b^{-1})^{-1}:(b^{-1}-a^{-1})^{-1}=\)  

\((\frac{1}{a}+\frac{1}{b}):(\frac{1}{b}-\frac{1}{a})^{-1}=\)

\(\frac{b+a}{ab}\cdot\frac{ab}{a-b}=  \frac{a+b}{a+-b} \)

\(log_\sqrt{5}\Rightarrow log_25=2a\)
\(\log_{10}2=\frac{1}{log_25+1}=\frac{1}{2a+1}\)

\(1+\log_{2}(2^{x}-1)=\log_{2^{x}-1}64\)
\(2^{x}-1>0 \wedge 2^{x}-1\neq 1 \Rightarrow x>0 \wedge x\neq 1\)
\(1+\log_{2}(2^{x}-1)=\frac{6}{\log_{2}(2^{x}-1)}\)
\(\log_{2}(2^{x}-1)=t\)
\(1+t=\frac{6}{t}/t\neq 0\)
\(t^{2}+t-6=0 \Rightarrow t=-3 \vee t=2\)
\(\log_{2}(2^{x}-1)=-3 \vee \log_{2}(2^{x}-1)=2\)
\(2^{x}-1=2^{-3} \vee 2^{x}-1=2^{2}\)
\(x_1=\log_{2}\frac{9}{8} \vee x_2=\log_{2}5\)
\(a=x_1+x_2=\log_{2}\frac{9}{8} +\log_{2}5=\log_{2}\frac{45}{8}\)
\(2^{a+3}=2^{a}\cdot 2^{3}=\frac{45}{8}\cdot 8=45\)

\(\frac{4x^{2}-5x-39}{x^{2}-x-12}\leqslant 3\\ \frac{4x^{2}-5x-39}{x^{2}-x-12}-3\leqslant 0\\ \frac{x^{2}-2x-3}{x^{2}-x-12}\leqslant 0\\ \frac{(x-3)(x+1)}{(x+3)(x-4)}\leqslant 0\)

\(x\in (-3,-1]\cup [3,4)\\ x \in\{-2,-1,3\}\)