Пре него што квадрирамо ову неједнакост, обратимо пажњу на услове \(3x+1\geq0 \Rightarrow x\geq-\frac{1}{3}\) и \(6-x\geq0\Rightarrow x\leq 6 ,\) односно \(x\in[-\frac{1}{3},6] \).

\( \sqrt{3x-1}+\sqrt{6-x}=5\)

\( 3x+1+2\sqrt{(3x-1)(6-x)}+6-x=25\)

\( \sqrt{(3x-1)(6-x)}=9-x /^2 \)Обратимо пажњу на \(9-x\geq 0\Rightarrow x\leq 9\)

\( -4x^2+35x-75=0\)

\( x_{1,2}=\frac{-35\pm 5}{-8}\)

\( x_1\cdot x_{2}=\frac{75}{4}\)

\(log_\sqrt{5}\Rightarrow log_25=2a\)
\(\log_{10}2=\frac{1}{log_25+1}=\frac{1}{2a+1}\)

Да би број био дељив са 5, последња цифра тог броја мора бити 5 или 0.
Ако је последња цифра петоцифреног броја 5, онда преостале четири цифре морају бити парни бројеви, па је таквих бројева: \(4\cdot 5\cdot 5\cdot 5=4\cdot 5^{3}\) .
Ако је последња цифра петоцифреног броја 0, онда једна од преостале четири цифре мора бити непарна, а остале три парне. Делимо поново на два случаја.
     Први: непарна цифра је на првом месту. Таквих петоцифрених бројева има: \(5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=5\cdot 5^{3}\) .
     Други: непарна цифра није на првом месту. Овде треба водити рачуна о томе да на првим месту не сме бити ни 0. Таквих петоцифрених бројева има: \(3\cdot 5\cdot 4\cdot 5\cdot 5=12\cdot 5^{3}\) .

Па је број свих петоцифрених бројева дељивих са 5 који имају тачно једну непарну цифру једнак:\(4\cdot 5^{3} + 5\cdot 5^{3} + 12\cdot 5^{3}=21\cdot 5^{3}\)

Једначина праве која пролази кроз \(AB\) је \(\frac{x-xA}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-y_A}\) односно \(y=-3x+5\). Коефицијент правца нормале је \( \frac{1}{3}\), па ће нормала имати облик \(y=\frac{1}{3}x+n\). Како њој припада тачка  \(C(6,-3)\), заменом њених координата добијамо да је \(n=-5\). Односно једначина нормале је  \(y=\frac{1}{3}x-5\). Да бисмо пронашли тачку пресека праве  \(y=-3x+5\) и нормале  \(y=\frac{1}{3}x-5\) изједначимо њихове вредности \(-3x+5=\frac{1}{3}x-5\). Тако да добијамо \(x=3\) и \(y=-4\), па је \(x_0\cdot y_0=-12\).

\(\left ( \frac{2a+1}{a+2}-\frac{4a+2}{4-a^{2}} \right ):\frac{2a+1}{a-2}+\left ( \frac{a+2}{2} \right )^{-1}=\\ \left ( \frac{2a+1}{a+2}-\frac{4a+2}{(2-a)(2+a)} \right )\cdot \frac{a-2}{2a+1}+ \frac{2}{a+2} =\\ \frac{a}{a+ 2}+ \frac{2}{a+2}=1\)

\(\frac{x^{2}-5x-5}{2x^{2}+x-10}<-1\)
\(\frac{x^{2}-5x-5}{2x^{2}+x-10}+1<0\)
\(\frac{3x^{2}-4x-15}{2x^{2}+x-10}<0\)

\(3x^{2}-4x-15=0\rightarrow x_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{16+180}}{6}=\frac{4\pm14}{6}\)

\(2x^{2}+x-10=0\rightarrow x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{1+80}}{4}=\frac{-1\pm9}{4}\)

\(x\in \left ( -\frac{5}{2},-\frac{5}{3} \right ) \cup (2,3) \Rightarrow x\in \{-2\}\)

Ако \(12\) радника, радећи \(5\) дана, зараде \(125000\) динара, тада ће \(12\) радника, радећи 1 дан, да зараде \(125000:5=25000\) динара, односно тада ће 1 радник, радећи 1 дан, да заради \(25000:12=\frac{6250}{3}\) динара. Одатле можемо да закључимо да ће 15 радника, радећи 1 дан, да зараде \( \frac{6250}{3}\cdot 15=31250\) динара. А ако раде \(6\) дана \(31250\cdot 6=187500\) динара.

\(a=\log_{\sqrt{2}}\sqrt[3]{64}-\sqrt[3]{3}^{\log_{\sqrt{3}}27}=\) \(\log_{2^{\frac{1}{2}}}2^{\frac{6}{3}}-3^{\frac{1}{3}\log_{3^{\frac{1}{2}}}3^3}=\) \(2\cdot 2\cdot \log_{2}2-3^{2\log_{3}3}=4-9=-5\)
Па је тада: 
\((a+9)^{a+\frac{9}2{}}=4^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\)

\(J=\frac{a+b}{a-b}\frac{a-b}{a+b}=\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{a^1-b^2}=\frac{2a^2+2b^2}{a^2-b^2}=10\)

\(AB=6cm, AD=4cm, AC=5cm\)
\(BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{36cm^{2}-16cm^{2}}=2\sqrt{5}cm\)
\(DC=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{25cm^{2}-16cm^{2}}=3cm\)
\(P=\frac{BC\cdot AD}{2}=\frac{(2\sqrt{5}cm+3cm)4cm}{2}=2(2\sqrt{5}+3)cm^{2}\)
\(P=\frac{AB\cdot BC\cdot CD}{4R} \Rightarrow \)\(R=\frac{AB\cdot BC\cdot CD}{4P}=\)\(\frac{6cm\cdot (2\sqrt{5}cm+3cm)\cdot 5cm}{4\cdot 2(2\sqrt{5}+3)cm^{2}}=\frac{15}{4}cm\)
 

\(\frac{x-1}{x-3}<\frac{x+8}{x+4}\)
\(\frac{x-1}{x-3}-\frac{x+8}{x+4}<0\)
\(\frac{x^2+5x+4-x^2-5x+28}{(x-3)(x+4)}<0\)
\(\frac{ 28}{(x-3)(x+4)}<0\)

\(x\in(-4,3) \)

\(2+4^{\sqrt{x^{2}-3}+x-3}=6\cdot 2^{\sqrt{x^{2}-3}+x-4}\)
\(x^{2}-3\geqslant 0 \Rightarrow x\in \left (-\infty , -\sqrt{3} \right ]\cup \left [ \sqrt{3},+\infty \right )\)
\(2+4\cdot \left (2^{\sqrt{x^{2}-3}+x-4} \right )^{2}=6\cdot 2^{\sqrt{x^{2}-3}+x-4}\)
\(2^{\sqrt{x^{2}-3}+x-4}=t\)
\(2+4t^{2}=6t \Rightarrow 2t^{2}-3t+1=0 \Rightarrow t=1 \vee t=\frac{1}{2}\)
\(2^{\sqrt{x^{2}-3}+x-4}=1=2^{0} \vee 2^{\sqrt{x^{2}-3}+x-4}=\frac{1}{2}=2^{-1}\)
\(\sqrt{x^{2}-3}+x-4=0 \vee \sqrt{x^{2}-3}+x-4=-1\)
\(\sqrt{x^{2}-3}=4-x \vee \sqrt{x^{2}-3}=3-x\)
\(4-x\geqslant 0 \wedge 3-x\geqslant 0 \wedge x\in \left (-\infty , -\sqrt{3} \right ]\cup \left [ \sqrt{3},+\infty \right ) \)\(\Rightarrow x\in \left (-\infty , -\sqrt{3} \right ]\cup \left [ \sqrt{3},3\right ]\)
\(x^{2}-3=16-8x+x^{2} \vee x^{2}-3=9-6x+x^{2}\)
\(x_1=\frac{19}{8}=2\frac{3}{8} \vee x_2=2\)
\(x_1\cdot x_2=\frac{19}{4}\)

\(\left ( \frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a^{3}}+\sqrt{b^{3}}}:\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-\sqrt{ab}+b} \right )\cdot \left ( a+b+2\sqrt{ab} \right )=\) \(\left ( \frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{2\sqrt{a}}{\left (\sqrt{a}+\sqrt{b}  \right )\left ( a-\sqrt{ab}+b \right )}\frac{a - \sqrt{ab}+b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \right )\cdot \left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )^{2}=\) \(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}-2\sqrt{a}}{\left (\sqrt{a}+\sqrt{b}  \right )\left ( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right )}\cdot \left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )^{2}=\) \( \frac{-\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\left ( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right )}\cdot \left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )=\)\( -\sqrt{a}-\sqrt{b} \)

\( \frac{x-x_A}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-y_A} \)
\( 3x+3=2y-2 \)
\( 3x – 2y + 5 = 0 \)
 

\(\sqrt{3x+2}-\sqrt{2x-2}=\sqrt{x}\)
\(3x+2\geq 0\wedge 2x-2\geqslant 0 \wedge x\geqslant 0 \Rightarrow x\geqslant 1\)
\(\sqrt{3x+2}=\sqrt{x}+\sqrt{2x-2} /^{2}\)
\(3x+2=x+2\sqrt{x(2x-2)}+2x-2\)
\(2=\sqrt{x(2x-2)}\)
\(x^{2}-x-2=0 \Rightarrow x=2 \vee x=-1 ,\) али због услова задатка, једино решење је:
\(x=2\)

Размотримо услове: \(x-3\geq 0\Rightarrow x\geq3\) и \(8-x\geq0\Rightarrow x\leq 8.\)
\(\sqrt{x-3}+\sqrt{8-x}=3/^2\)
\(x-3+2\sqrt{(x-3)(8-x)}+8-x=9\)
\(\sqrt{(x-3)(8-x)}=2/^2\)
\(-x^2+11x-28=0\) Па добијамо да је \(x_1=4\) и \(x_2=7\) односно \(x_2-x_1=7-4=3\).

\(\left [ 4^{-1}\left ( \frac{1}{25} \right )^{-\frac{1}{2}}+\left ( \sqrt{(-2)^{2}}-1,8 \right )^{-1} \right ]^{\frac{1}{2}}\cdot \left ( \sqrt[3]{(-1)^{3}}+2,2 \right )=\) \(\left [ \frac{1}{4}\cdot 5 +\left ( 2-1,8 \right )^{-1} \right ]^{\frac{1}{2}}\cdot \left ( -1+2,2 \right )=\) \(\left [ \frac{5}{4}+5 \right ]^{\frac{1}{2}}\cdot 1,2=\) \(\frac{5}{2}\cdot \frac{12}{10}=3\)

\(1+\log_{2}(2^{x}-1)=\log_{2^{x}-1}64\)
\(2^{x}-1>0 \wedge 2^{x}-1\neq 1 \Rightarrow x>0 \wedge x\neq 1\)
\(1+\log_{2}(2^{x}-1)=\frac{6}{\log_{2}(2^{x}-1)}\)
\(\log_{2}(2^{x}-1)=t\)
\(1+t=\frac{6}{t}/t\neq 0\)
\(t^{2}+t-6=0 \Rightarrow t=-3 \vee t=2\)
\(\log_{2}(2^{x}-1)=-3 \vee \log_{2}(2^{x}-1)=2\)
\(2^{x}-1=2^{-3} \vee 2^{x}-1=2^{2}\)
\(x_1=\log_{2}\frac{9}{8} \vee x_2=\log_{2}5\)
\(a=x_1+x_2=\log_{2}\frac{9}{8} +\log_{2}5=\log_{2}\frac{45}{8}\)
\(2^{a+3}=2^{a}\cdot 2^{3}=\frac{45}{8}\cdot 8=45\)

\( 80\%(130\%x)=\frac{80}{100}\frac{130}{100}x=\frac{104}{100}x=104\%\) коначна цена артикла у односу на почетну цену је већа за \(4\%\) .

\(\frac{2\cdot i^{2013}}{1+i}=\frac{2i}{1+i}\cdot\frac{1-i}{1-i}=\frac{2i(1-i)}{2}=1+i\)