\(log_2(3x-7)=5 \)
\( log_2(3x-7)=log_22^5 \)
\( 3x-7=32 \)
\( x=13 \)

\(\sin(x-\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}\)
\(x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}+2k\pi   \vee  x-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\)   
\(x=\frac{\pi}{2}+2k\pi   \vee  x=\frac{7\pi}{6}+2k\pi  \) 
\(x\in\{\frac{\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{6}, -\frac{5\pi}{12}\}  \)

\( \frac{8}{3-\sqrt{5}}-\frac{2}{2+\sqrt{5}}=  \frac{8(3+\sqrt{5})}{3^2-\sqrt{5}^2}-\frac{2}{2+\sqrt{5}} \cdot \frac{2-\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}}=  \frac{8(3+\sqrt{5})}{9-5}-\frac{2(2-\sqrt{5})}{-1}=10 \)
 

 

 

\(2^{x^2-3x}+(\frac{1}{2})^{x^2-3x-4}=17\) , уведимо смену \(2^{x^2-3x}=t\) па добијамо \(t+\frac{1}{t}(\frac{1}{2})^{-4}=17\) односно \(t^2-17t+16=0\) . Применом Вијетових формула добијамо \(t_1=16\) и \(t_2=2\) .

\( 2^{x^2-3x}=16 \vee 2^{x^2-3x}=2 \)
\( x^2-3x-4=0 \vee x^2-3x-1=0 \)
\( x_1=4 \vee x_2=-1 \vee x_3=\frac{3+\sqrt{13}}{2} \vee x_4=\frac{3-\sqrt{13}}{2} \)
\( x_1+ x_2 + x_3 + x_4=6\)
 

\( x^2+10\sqrt{3}x+6\sqrt{3}=0\)

\( \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{-10\sqrt{3}}{6\sqrt{3}}=-\frac{5}{3}\)

Посматраћемо два скупа случајева:
1. _ _ _ _ _ бројеви које почињу непарним цифрама. На последње место могу доћи 3 цифре, на прво место 3 цифре и на остала места, редом 4,3,2,1 цифра. Па је број комбинација \(3\cdot 3\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=216\)
2. _ _ _ _ _ бројеви које почињу непарним цифрама. На прво место могу доћи 2 цифре, на последње место такође 2 цифре и на остала места, редом 4,3,2,1 цифра. Па је број комбинација \(2\cdot 2\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=96\)

И укупно 312 комбинација.

\(\left ( \frac{2a+1}{a+2}-\frac{4a+2}{4-a^{2}} \right ):\frac{2a+1}{a-2}+\left ( \frac{a+2}{2} \right )^{-1}=\\ \left ( \frac{2a+1}{a+2}-\frac{4a+2}{(2-a)(2+a)} \right )\cdot \frac{a-2}{2a+1}+ \frac{2}{a+2} =\\ \frac{a}{a+ 2}+ \frac{2}{a+2}=1\)

\(\frac{x-1}{x-3}<\frac{x+8}{x+4}\)
\(\frac{x-1}{x-3}-\frac{x+8}{x+4}<0\)
\(\frac{x^2+5x+4-x^2-5x+28}{(x-3)(x+4)}<0\)
\(\frac{ 28}{(x-3)(x+4)}<0\)

\(x\in(-4,3) \)

\((x^3+\frac{1}{x})^{12}\)
\((x^3)^{12-5}\cdot(\frac{1}{x})^k=x^0\)
\(x^{3(12-k)-k}=x^0\)
\(4k=36\Rightarrow k=9\) пошто бројимо од  \(k=0\), тада је  \(k=9\) десети члан

\(\left ( \frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a^{3}}+\sqrt{b^{3}}}:\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-\sqrt{ab}+b} \right )\cdot \left ( a+b+2\sqrt{ab} \right )=\) \(\left ( \frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{2\sqrt{a}}{\left (\sqrt{a}+\sqrt{b}  \right )\left ( a-\sqrt{ab}+b \right )}\frac{a - \sqrt{ab}+b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \right )\cdot \left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )^{2}=\) \(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}-2\sqrt{a}}{\left (\sqrt{a}+\sqrt{b}  \right )\left ( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right )}\cdot \left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )^{2}=\) \( \frac{-\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\left ( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right )}\cdot \left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )=\)\( -\sqrt{a}-\sqrt{b} \)

\(\frac{\cos 100^o+\sin 50^o}{\sin 200^o}=\frac{\cos 100^o+\sin (90^o-40^o)}{\sin 200^o}=\\ \frac{\cos 100^o+\cos 40^o}{\sin 200^o}=\frac{2\cos 70^o\cdot \cos 30^o}{\sin (270^o-70^o)}=\\ \frac{2\cos 70^o\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{-\cos70^o}=-\sqrt{3}\)

\(r=12cm\)
\(H_k=6cm +H_v\)
\(V_v=V_k \Rightarrow BH_v=\frac{1}{3}BH_k \Rightarrow H_v=\frac{1}{3}H_k \Rightarrow 3H_v=H_k\)
\(3H_v=6cm +H_v \Rightarrow H_v=3cm, H_k=9cm\)

\(s=\sqrt{H_k^{2}+r^{2}}=15cm\)

\(B=r^{2}\pi =144\pi cm^{2}\)
\(P_v=2B+M_v=288\pi cm^{2}+2r\pi H_v=288\pi cm^{2}+72\pi cm^{2}=360\pi cm^{2}\)
\(P_k=B+M_k=144\pi cm^{2}+r\pi s=144\pi cm^{2}+180\pi cm^{2}=324\pi cm^{2}\)

\(P_v:P_k=360\pi cm^{2}:324\pi cm^{2}=10:9\)

Коефицијент праве \(p\) је \(k_p=2 \), што значи да ће коефицијент праве \(n\) бити \(k_n=-\frac{1}{2}\) , односно њен облик ће бити \(y=-\frac{1}{2}x+n\) . Пошто она садржи тачку \(A(3,4)\) , можемо заменити њене координате и добити коефицијент \(n=\frac{11}{2}\) и једначину \(n: y=-\frac{1}{2}x+\frac{11}{2}\) . Потребно је да нађемо пресечну тачку ових правих, па ћемо заменити  \(y=-\frac{1}{2}x+\frac{11}{2}\) у једначину \(4x-2y+1=0 \). Тако ћемо добити координате тачке \(S(2,\frac{9}{2})\) , па је \(x_S \cdot y_S=9.\)

На основу вредности у апсолутним заградама одредимо интервале у којима ћемо тражити решења.
1. \(x-2\geq0\Rightarrow x\geq2\)
\(\frac{x-2}{(x-2)(x-1) }\geq 2\)
\(\frac{3-2x}{(x-1) }\geq 0\)

\(x\in(1,\frac{3}{2})\), ово решење не припада интервалу.

2. \(x-2<0\Rightarrow x<2\)
\(\frac{-(x-2)}{(x-2)(x-1) }\geq 2\)
\(\frac{1-2x}{(x-1) }\geq 0\)

\(x\in[\frac{1}{2},1)\)

\(\frac{x^{2}-5x-5}{2x^{2}+x-10}<-1\)
\(\frac{x^{2}-5x-5}{2x^{2}+x-10}+1<0\)
\(\frac{3x^{2}-4x-15}{2x^{2}+x-10}<0\)

\(3x^{2}-4x-15=0\rightarrow x_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{16+180}}{6}=\frac{4\pm14}{6}\)

\(2x^{2}+x-10=0\rightarrow x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{1+80}}{4}=\frac{-1\pm9}{4}\)

\(x\in \left ( -\frac{5}{2},-\frac{5}{3} \right ) \cup (2,3) \Rightarrow x\in \{-2\}\)

\(\frac{sin(\alpha+\beta)+sin(\alpha-\beta)}{cos(\alpha+\beta)+cos(\alpha-\beta)}=  \frac{2sin\frac{2\alpha}{2}cos{2\beta}{2}}{2cos\frac{2\alpha}{2}cos{2\beta}{2}}=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}=tg\alpha \)

\( 4^x=2^{\frac{x+1}{x}} \)
\( 2^2x=2^{\frac{x+1}{x}} \)
\( 2x=\frac{x+1}{x} \)
\( 2x^2-x-1=0 \)
\( (x-1)(x+\frac{1}{2})=0 \)
\( x_1^2+x_2^2=\frac{5}{4} \)

\(\frac{2\cdot i^{2013}}{1+i}=\frac{2i}{1+i}\cdot\frac{1-i}{1-i}=\frac{2i(1-i)}{2}=1+i\)

\(\left(\frac{55}{84}:x+1\frac{1}{2}\right)\cdot\frac{5}{33}=2\frac{1}{2}\)
\(\frac{55}{84}:x+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\frac{33}{5}\)
\(\frac{55}{84}:x+\frac{3}{2}=\frac{33}{2}\)
\(\frac{55}{84}:x=15\)
\(x=\frac{11}{252} \)

\(1+\log_{2}(2^{x}-1)=\log_{2^{x}-1}64\)
\(2^{x}-1>0 \wedge 2^{x}-1\neq 1 \Rightarrow x>0 \wedge x\neq 1\)
\(1+\log_{2}(2^{x}-1)=\frac{6}{\log_{2}(2^{x}-1)}\)
\(\log_{2}(2^{x}-1)=t\)
\(1+t=\frac{6}{t}/t\neq 0\)
\(t^{2}+t-6=0 \Rightarrow t=-3 \vee t=2\)
\(\log_{2}(2^{x}-1)=-3 \vee \log_{2}(2^{x}-1)=2\)
\(2^{x}-1=2^{-3} \vee 2^{x}-1=2^{2}\)
\(x_1=\log_{2}\frac{9}{8} \vee x_2=\log_{2}5\)
\(a=x_1+x_2=\log_{2}\frac{9}{8} +\log_{2}5=\log_{2}\frac{45}{8}\)
\(2^{a+3}=2^{a}\cdot 2^{3}=\frac{45}{8}\cdot 8=45\)