\(2+4^{\sqrt{x^{2}-3}+x-3}=6\cdot 2^{\sqrt{x^{2}-3}+x-4}\)
\(x^{2}-3\geqslant 0 \Rightarrow x\in \left (-\infty , -\sqrt{3} \right ]\cup \left [ \sqrt{3},+\infty \right )\)
\(2+4\cdot \left (2^{\sqrt{x^{2}-3}+x-4} \right )^{2}=6\cdot 2^{\sqrt{x^{2}-3}+x-4}\)
\(2^{\sqrt{x^{2}-3}+x-4}=t\)
\(2+4t^{2}=6t \Rightarrow 2t^{2}-3t+1=0 \Rightarrow t=1 \vee t=\frac{1}{2}\)
\(2^{\sqrt{x^{2}-3}+x-4}=1=2^{0} \vee 2^{\sqrt{x^{2}-3}+x-4}=\frac{1}{2}=2^{-1}\)
\(\sqrt{x^{2}-3}+x-4=0 \vee \sqrt{x^{2}-3}+x-4=-1\)
\(\sqrt{x^{2}-3}=4-x \vee \sqrt{x^{2}-3}=3-x\)
\(4-x\geqslant 0 \wedge 3-x\geqslant 0 \wedge x\in \left (-\infty , -\sqrt{3} \right ]\cup \left [ \sqrt{3},+\infty \right ) \)\(\Rightarrow x\in \left (-\infty , -\sqrt{3} \right ]\cup \left [ \sqrt{3},3\right ]\)
\(x^{2}-3=16-8x+x^{2} \vee x^{2}-3=9-6x+x^{2}\)
\(x_1=\frac{19}{8}=2\frac{3}{8} \vee x_2=2\)
\(x_1\cdot x_2=\frac{19}{4}\)

\(x+1\geq0   \wedge 5-x \geq 0   \wedge (x+1)^2>5-x\)
\(x\geq-1   \wedge x \leq 5   \wedge x^2+3x-4>0\)
\(x\geq-1   \wedge x \leq 5   \wedge x\in (-\infty, -4)\cup(1,+\infty)\)
\(x\in(1,5]\)
\(x\in\{2,3,4,5\}\)
 

Посматрајмо два интервала решења:

\(1. x \geq 0\)

\( 3x=12-x\)

\( x=3\)

\(2. x < 0\)

\( -3x=12-x\)

\( x=-6\)

\( x_1\cdot x_2=-18\)

На основу вредности у апсолутним заградама креирајмо таблицу из које ћемо поделити интервале решења:

\(x_1^2+x_2^2+x_3^2=99\)

Одредимо основицу једнакокраког троугла \((\frac{a}{2})^2=b^2-H^2 \rightarrow a=8cm\). Сада, означимо са \(x\) и \(y\) странице троугла. Његова површина је \(P=xy\); па је потребно да површину изразимо у функцији његове једне странице како бисмо користили извод да добијемо однос страница за максималну површину. 

Из сличности троуглова следи \(\frac{a}{2}:H=\frac{y}{2}:(H-x)\) односно добијамо да је \(y=a-\frac{a}{H}x = 8-\frac{8}{3}x\). 

Сада је формула за површину \(P=xy=x\left(8-\frac{8}{3}x\right)=-\frac{8}{3}x^2+8x\). Одредићемо први извод по променљивој \(x\) и изједначићемо га са 0. 

\(P'=-\frac{16}{3}x+8=0\) и тако добијамо \(x=\frac{3}{2}\). Вредност стрнице \(x\) заменимо у изразу за \(y\) и добијамо да је \(y=4\), па је обим 11.

Тангенте постављене из тачке \(A(2,4)\) на \(x^2+y^2=2\) имају облик \(y=kx+n\) па пошто тачка \((2,4)\) њима припада биће \(4=2x+n\), односно \(n=4-2x\). Тангенте морају испунити услов \((1+k^2)r^2=(q-kp-n)^2\), па добијамо да је \(k_1=1\) и \(k_2=7\) односно \(n_1=2\) и \(n_2=-10\). Па тангенте имају облик \(t_1: y=x+2\) и \(t_2: y=7x-10\) и оне секу \(Oy, x=0\) осу у тачкама \(B(0,2)\) и \(C(0,-10)\). Па је површина троугла \(ABC\) једнака половини производа растојања између тачака \(B\) и \(C\) и удаљености тачке \(A\) од \(Oy\) осе \(P=\frac{12\cdot 2}{2}=12\). 

\(80\%(90\%(500))=\frac{80}{100}\frac{90}{100}500=360.\)

Размотримо прво услове у логаритмима \(x+1>0 \Rightarrow x>-1,\)  \(3x+1>0 \Rightarrow x>-\frac{1}{3}\) ,  \(5x-4>0 \Rightarrow x>\frac{4}{5}\) ,  \(x-2>0 \Rightarrow x>2\) , па закључујемо да \(x>2\) .

\( log_3(x+1)-log_3(3x-1)+log_3(5x-4)=2log_3(x-2) \)
\( log_3\frac{(x+1)(5x-4)}{3x-1}=log_3(x-2)^2 \)
\( (x+1)(5x-4)=(3x-1)(x-2)^2 \)
\( 3x^3-18x^2+15x=0 \)
\( 3x(x^2-6x+5)=0 \)
 \(x_1=0 \vee x_2=5 \vee x_3=1\) прихаватамо само решење  \(x_2=5\) , јер остала не задовољавају критеријум услова.

\(V_p=128cm^{3}=BH=a^{2}H\\ r=\frac{d}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\\ V_v=r^{2}\pi H=\left ( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right )^{2}\pi H=\frac{128cm^{3}\pi }{2}=64\pi cm^{3}\)

\(2^{x^2-3x}+(\frac{1}{2})^{x^2-3x-4}=17\) , уведимо смену \(2^{x^2-3x}=t\) па добијамо \(t+\frac{1}{t}(\frac{1}{2})^{-4}=17\) односно \(t^2-17t+16=0\) . Применом Вијетових формула добијамо \(t_1=16\) и \(t_2=2\) .

\( 2^{x^2-3x}=16 \vee 2^{x^2-3x}=2 \)
\( x^2-3x-4=0 \vee x^2-3x-1=0 \)
\( x_1=4 \vee x_2=-1 \vee x_3=\frac{3+\sqrt{13}}{2} \vee x_4=\frac{3-\sqrt{13}}{2} \)
\( x_1+ x_2 + x_3 + x_4=6\)
 

\(\frac{11+2i}{3-4i}\cdot \frac{3+4i}{3+4i}=\frac{25+50i}{25}=1+2i\)

\(3\cdot 81^{x}+2\cdot 16^{x}\leqslant 5\cdot 36^{x}\)
\(3\cdot 3^{4x}+2\cdot 2^{4x}\leqslant 5\cdot 3^{2x}\cdot 2^{2x} /:2^{4x}\)
\(3\cdot \left ( \left ( \frac{3}{2} \right )^{2x} \right )^{2}+2\leqslant 5\cdot \left ( \frac{3}{2} \right )^{2x} \)

Уведимо следећу смену \(\left ( \frac{3}{2} \right )^{2x}=t, t>0\)
\(3t^{2}-5t+2\leqslant 0 \Rightarrow t_1=\frac{2}{3} \vee t_2=1\), па тада важи: \(t\in \left [ \frac{2}{3},1 \right ] \wedge t>0 \Rightarrow \frac{2}{3}\leqslant t\leqslant 1\)

\(\frac{2}{3}\leqslant \left ( \frac{3}{2} \right )^{2x} \leqslant 1 \Rightarrow\)\(-1\leqslant 2x \leqslant 0\)
\( -\frac{1}{2} \leqslant x \leqslant 0 \Rightarrow x\in \left [ -\frac{1}{2},0 \right ]\)

\(\log \sqrt{x-2}+3\log \sqrt{x+2}=\frac{1}{2}+\log \sqrt{x^{2}-4}\)
\(x-2>0 \wedge x+2>0 \wedge x^{2}-4>0 \Rightarrow x>2\)

\(\log \frac{\sqrt{x-2}\cdot \sqrt{x+2}^{3}}{\sqrt{x^{2}-4}}= \frac{1}{2}=\log 10^{\frac{1}{2}}\)
\(\frac{\sqrt{x-2}\cdot \sqrt{x+2}^{3}}{\sqrt{x^{2}-4}}= \sqrt{10}\)
\(x+2=\sqrt{10}\)
\(x=\sqrt{10}-2\approx -1,1\)

Због услова закључујемо да једначина нема решења.

\(Q(x) = x^2 - 3x + 2=(x-2)(x-1)\\ P(x)=x^{2013}-64x^{2007}+65\\ P(x)=Q(x)\cdot m+ax+b\\ P(1)=1-64+65=0+a+b=0\\ P(2)=2^{2013}-2^{2013}+65=0+2a+b\\ a=63, b=-61 \Rightarrow a+b=2\)

\(3\cdot16^x + 2\cdot 81^x =5\cdot36^x\)
\(3\cdot 2^{4x} + 2\cdot 3^{4x} =5\cdot2^{2x}3^{2x} / :2^{4x}\)
\(3+2((\frac{3}{2})^{2x})^2=5\cdot(\frac{3}{2})^{2x}\)
\((\frac{3}{2})^{2x}=t>0\)
\(2t^2-5t+3=0\)
\(t_{1,2} = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)
\(t_{1,2}=\frac{5\pm 1}{4}\)
\(t_{1,2}=\frac{5\pm 1}{4}\)
\(t_1=\frac{3}{2} \vee t_2=1\)
\((\frac{3}{2})^{2x}=\frac{3}{2} \vee (\frac{3}{2})^{2x}=1\)
\(x=\frac{1}{2} \vee x=0\)

Тачан је исказ: \(f_1=f_2\neq f_3\) због ралике у домену и кодомену.

\(n_1=n+7\)
\(D_{n_1}=D_n + 119\)
\(\frac{(n+7)(n+7-3)}{2}=\frac{n(n-3)}{2}+119\)
\(14n=210\)
\(n=15\)

\(log_{\frac{1}{2}}28=-log_228=-log_22^2-log_27=-2-\frac{1}{a}=-\frac{2a+1}{a}\)

\(\sqrt{10+x}-\sqrt{5-x}=\sqrt{1+x}\)

\(10+x \geqslant 0\wedge  5-x \geqslant 0\wedge  1+x\geqslant 0 \)
\(x \geqslant -10 \wedge  -x \geqslant -5 \wedge  x\geqslant -1 \Rightarrow x\in \left [ -1,5 \right ]\)

\(\sqrt{10+x}=\sqrt{1+x}+\sqrt{5-x} /^{2}\)
\(4-x=2\sqrt{(1+x)(5-x)}/^{2}, \) уз услов \(4-x\geqslant 0 \Rightarrow x\in \left [ -1,4 \right ]\)
\(5x^{2}-24x-4=0 \)
\(x_{1,2}=\frac{24\pm \sqrt{576+80}}{10}\Rightarrow x_1=\frac{12+2\sqrt{42}}{5} \vee x_2=\frac{12-2\sqrt{42}}{5}\)
\(x_1\cdot x_2=\frac{12+2\sqrt{42}}{5} \cdot  x_2=\frac{12-2\sqrt{42}}{5}=-\frac{4}{5}\)
 

\(a=\log_{\sqrt{2}}\sqrt[3]{64}-\sqrt[3]{3}^{\log_{\sqrt{3}}27}=\) \(\log_{2^{\frac{1}{2}}}2^{\frac{6}{3}}-3^{\frac{1}{3}\log_{3^{\frac{1}{2}}}3^3}=\) \(2\cdot 2\cdot \log_{2}2-3^{2\log_{3}3}=4-9=-5\)
Па је тада: 
\((a+9)^{a+\frac{9}2{}}=4^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\)