Коефицијент праве \(p\) је \(k_p=2 \), што значи да ће коефицијент праве \(n\) бити \(k_n=-\frac{1}{2}\) , односно њен облик ће бити \(y=-\frac{1}{2}x+n\) . Пошто она садржи тачку \(A(3,4)\) , можемо заменити њене координате и добити коефицијент \(n=\frac{11}{2}\) и једначину \(n: y=-\frac{1}{2}x+\frac{11}{2}\) . Потребно је да нађемо пресечну тачку ових правих, па ћемо заменити  \(y=-\frac{1}{2}x+\frac{11}{2}\) у једначину \(4x-2y+1=0 \). Тако ћемо добити координате тачке \(S(2,\frac{9}{2})\) , па је \(x_S \cdot y_S=9.\)

\(3\cdot16^x + 2\cdot 81^x =5\cdot36^x\)
\(3\cdot 2^{4x} + 2\cdot 3^{4x} =5\cdot2^{2x}3^{2x} / :2^{4x}\)
\(3+2((\frac{3}{2})^{2x})^2=5\cdot(\frac{3}{2})^{2x}\)
\((\frac{3}{2})^{2x}=t>0\)
\(2t^2-5t+3=0\)
\(t_{1,2} = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)
\(t_{1,2}=\frac{5\pm 1}{4}\)
\(t_{1,2}=\frac{5\pm 1}{4}\)
\(t_1=\frac{3}{2} \vee t_2=1\)
\((\frac{3}{2})^{2x}=\frac{3}{2} \vee (\frac{3}{2})^{2x}=1\)
\(x=\frac{1}{2} \vee x=0\)

\(\frac{11+2i}{3-4i}\cdot \frac{3+4i}{3+4i}=\frac{25+50i}{25}=1+2i\)

\( (a^{-1}+b^{-1})^{-1}:(b^{-1}-a^{-1})^{-1}=\)  

\((\frac{1}{a}+\frac{1}{b}):(\frac{1}{b}-\frac{1}{a})^{-1}=\)

\(\frac{b+a}{ab}\cdot\frac{ab}{a-b}=  \frac{a+b}{a+-b} \)

\(\sin\alpha=\frac{15}{17}\)
\(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha=1\Rightarrow \cos\alpha=-\frac{8}{17}\)
\(\cos(\frac{\pi}{4}-\alpha)=\cos\frac{\pi}{4}\cos\alpha+\sin\frac{\pi}{4}-\sin\alpha=\frac{7\sqrt{2}}{34}\)

\(1 + \sin 2x - 2\sin x = \cos 2x\)
\( 1 + 2\sin x \cos x - 2\sin x = \cos 2x\)
\( 2\sin x (\cos x – 1)= \cos^2x-\sin^2x-1\)
\( 2\sin x (\cos x – 1) +2\sin^2x=0\)
\( 2\sin x (\cos x-1+\sin x)=0\)
Посматрајмо прво \(\sin x=0\Rightarrow x=k\pi\) а потом размотримо  \(\cos x-1+\sin x =0\)

\( \cos x=1-\sin x\)
\( \cos^2x+\sin^2x=1\)
\( (1-\sin x)^2+\sin^2x=1\)
\( \sin x(\sin x-1)=0\) односно  \(\sin x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\)
\( x\in {0, \pi, 2\pi, 3\pi, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}}\)

\(\cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta)- \sin(\alpha + \beta)\sin(\alpha - \beta)=\cos(\alpha+\beta+\alpha-\beta)= \cos2\alpha \)

\(\frac{x^2+x-28}{x^2-4x-5}\geq2\)
\(\frac{x^2+x-28- 2x^2+8x+10}{x^2-4x-5}\geq0\)
\(\frac{-x^2+9x-18}{x^2-4x-5}\geq0\)
\(\frac{(x-3)(6-x)}{(x-5)(x+1)}\geq0\)
 
\(x\in(-1,3]\cup(5,6]\)
\(a+b+c+d=13\)

\(1+\log_{2}(2^{x}-1)=\log_{2^{x}-1}64\)
\(2^{x}-1>0 \wedge 2^{x}-1\neq 1 \Rightarrow x>0 \wedge x\neq 1\)
\(1+\log_{2}(2^{x}-1)=\frac{6}{\log_{2}(2^{x}-1)}\)
\(\log_{2}(2^{x}-1)=t\)
\(1+t=\frac{6}{t}/t\neq 0\)
\(t^{2}+t-6=0 \Rightarrow t=-3 \vee t=2\)
\(\log_{2}(2^{x}-1)=-3 \vee \log_{2}(2^{x}-1)=2\)
\(2^{x}-1=2^{-3} \vee 2^{x}-1=2^{2}\)
\(x_1=\log_{2}\frac{9}{8} \vee x_2=\log_{2}5\)
\(a=x_1+x_2=\log_{2}\frac{9}{8} +\log_{2}5=\log_{2}\frac{45}{8}\)
\(2^{a+3}=2^{a}\cdot 2^{3}=\frac{45}{8}\cdot 8=45\)

\( x^2+10\sqrt{3}x+6\sqrt{3}=0\)

\( \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{-10\sqrt{3}}{6\sqrt{3}}=-\frac{5}{3}\)

Број је дељив са 5 ако је последња цифра тог броја 0 или 5 :
Десетоцифрених бројева чије су све цифре међусобно различите и чија је последња цифра 0 има: \(9! \).
Десетоцифрених бројева чије су све цифре међусобно различите и чија је последња цифра 5 има: \(8 \cdot 8! . \)Укупно их је: \(9!+ 8 \cdot 8!= 9 \cdot 8!+ 8 \cdot 8!= 17 \cdot 8!\)

\(\binom{n}{2}=1005\binom{n}{1} \Rightarrow \frac{n(n-1)}{2}=1005n \Rightarrow n=2011\)

\(\binom{2011}{k}=\left ( \sqrt{3} \right )^{2011-k}\cdot \left ( \sqrt[3]{2} \right )^{k} \in \mathbb{Q} \Rightarrow \frac{2011-k}{2}, \frac{k}{3}\in \mathbb{Z}\)

\(k\equiv 1( mod 2) \Rightarrow k=2m+1, m\in \mathbb{Z}\)
\(k\equiv 0( mod 3) \Rightarrow 2m+1\equiv 0( mod 3)\)
\(2m\equiv -1( mod 3)\)
\(2m\equiv 2( mod 3)\)
\(m\equiv 1( mod 3)\Rightarrow m=3l+1, l\in \mathbb{Z}\)

\(k=6l+3\)

\(k\leqslant 2011\Rightarrow 6l+3\leqslant 2011 \Rightarrow l\leqslant 334,6667\)

\(334+1=335\)

\(\left | z-3 \right |=\left | z-3+2i \right | \wedge \left | z-2i \right |=\left | z+4-2i \right |\\ z=x+iy\\ \left | x-3+iy \right |=\left | x-3+(2+y)i \right | \wedge \left | x+(y-2)i \right |=\left | x+4+(y-2)i \right |\\ \sqrt{(x-3)^{2}+y^{2}} = \sqrt{(x-3)^{2}+(2+y)^{2}} \wedge \sqrt{x^{2}+(y-2)^{2}}= \sqrt{(x+4)^{2}+(y-2)^{2}}\\ x=-2, y=-1 \Rightarrow z=-1-2i \Rightarrow \left | z \right |=\sqrt{(-2)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{5}\)

\(g(x) = 3x - 2 \)
Ако знамо да је \(g^{-1}(g(x))=x\), тада је \(g^{-1}(3x - 2)=x \). Уведимо смену \(3x - 2=t \Rightarrow x =\frac{t+2}{3}\).
Тада је \(g^{-1}(t)=\frac{t+2}{3}\) и сада можемо израчунати вредност израза \(f(g^{-1} (4)) - g^{-1} (f(3))\).
\(f\left ( g^{-1}(4) \right )-g^{-1}(f(3))=f\left ( \frac{4+2}{3} \right )-g^{-1}\left ( 3^{2}+1 \right )=f(2)-g^{-1}(10)=5-4=1\).

Пошто је наспрам веће странице већи угао, највећи угао у овом троуглу ће бити угао наспрам странице \(c\) и означићемо га са \( \gamma\). Користићемо косинусну теорему:

\(c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma\)
\(\cos\gamma=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)
\(\cos\gamma=\frac{-6}{6\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\gamma=\frac{3\pi}{4}\)

На основу вредности у апсолутним заградама креирајмо таблицу из које ћемо поделити интервале решења:

\(x_1^2+x_2^2+x_3^2=99\)

1. \(x-1\geq0 \Rightarrow x\geq 1 \)
\( 2x+x-1<2 \)
\( x<1\) ово решење не прихватамо јер не припада интервалу.
2. \(x-1<0 \Rightarrow x< 1 \)
\( 2x-x+1<2 \)
\( x<1 , \)
\( x\in(-\infty, 1) \)
 

\(\frac{x^2}{169}+\frac{y^2}{144}=1 \Rightarrow \frac{x^2}{13^2}+\frac{y^2}{12^2}=1 \Rightarrow a=13,b=12\)
\(e=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\frac{5}{13}\)
\(e=\frac{c}{a} \Rightarrow c=5 \Rightarrow A(5,0); B(-5,0)\)
\(c=\left | AB \right |=\sqrt{(5-5)^{2}+\left ( \frac{15}{2}-0 \right )^{2}}=\frac{15}{2}\)
\(a=\left | BC \right |=\sqrt{(-5-5)^{2}+\left ( 0-0 \right )^{2}}=10\)
\(b=\left | AC \right |=\sqrt{(-5-5)^{2}+\left ( 0-\frac{15}{2} \right )^{2}}=\frac{25}{2}\)
\(O=a+b+c=\frac{15}{2}+10+\frac{25}{2}=30\)

Размотримо услове \(2x^2 - x + 3\geq0\) и \( x +1\geq0\), како је \(2x^2 - x + 3\) увек позитивно закључујемо коначно  \(x\geq -1\) .
\(\sqrt{2x^2 - x + 3} = x +1/^2\)
\(2x^2 - x + 3 = x^2 +2x+1\)
\(x^2-3x+2=0\) па је \(x_1=1\) и \(x_2=2\) односно \(x_1+x_2=3\)

 \(a_1=4\)

\( S_5=90=\frac{50}{2}(2a_1+4d)\)

\( a_1+2d=18\Rightarrow d=7\)

\( a_{15}=a_1+14d=4+98=102\)