Како је ​\(x^4+px^2+q=(x^2+px+q)(x^2-px+(p^2+px-q))-p(p^2+p-2q)x-q(p^2+p-q-1)\)​ , следи да ​\(x^2+px+q\)​ дели ​\(x^4+px^2+q\)​ ако и само ако је \(p(p^2+p-2q)x=0\) и \(q(p^2+p-q-1)=0\). Ако је \(p=0\)​, друга једначина постаје \(q(-1-q)=0 \Leftrightarrow q \in \left\{-1,0\right\}\). Ако је \(p\neq 0\), мора бити \(p^2+p-2q=0\), па заменом у другу једначину следи \(q(q-1)=0\). Ако је  \(q=0\), следи \(p^2+p=0\), тј \(p=-1\) (при чему је \(p \neq0\)). Ако је \(q=1\), следи \(0=p^2+p-2=(p+2)(p-1) \Leftrightarrow p\in \left\{ -2,1\right\}\). Дакле, све могућности су \((p,q)=\left\{(0,0), (0,-1), (-1,0), (-2,1), (1,1)\right\}\).

\(x_1+x_2=\frac{6+5m}{1+m} \Rightarrow m=\frac{x_1+x_2-6}{5-x_1-x_2}\\ x_1x_2=\frac{5+6m}{1+m}=\frac{5+6\frac{x_1+x_2-6}{5-x_1-x_2}}{1+\frac{x_1+x_2-6}{5-x_1-x_2}}=-x_1-x_2+11\)

Раван која садржи попречни пресек ваљка сече лопту по великом кругу, а ваљак по правоугаонику уписаном у тај круг, димензија \(2r\) и \(h\), где су \(r\) и \(h\) редом, полупречник основе и висина ваљка (притом је \(0<h<2R\)). Следи \(4r^2+h^2=4R^2\), па је запремина ваљка \(V=r^2\pi h=\pi \left(R^2h-\frac{h^3}{4}\right)\). Како је \(V^{'}(h)=\pi \left(R^2-\frac{3h^2}{4}\right)\), \(V(h)\) расте на \(\left(0, \frac{2R}{\sqrt{3}} \right)\), опада на \(\left(\frac{2R}{\sqrt{3}}, 2R \right)\), па је њен максимум \(V\left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right)=\frac{4}{3\sqrt{3}}R^3\pi\).

\(\log_{24}50=2\log_{24}5+\log_{24}2=\\ \frac{2}{\log_{5}3+3\log_{5}2}+\frac{1}{\log_{2}8+\log_{2}3}=\\ \frac{2}{\log_{5}3+3b}+\frac{1}{3+a}=\frac{2}{\frac{\log_{2}3}{\log_{2}5}+3b}+\frac{1}{3+a}=\\ \frac{2}{ab+3b}+\frac{1}{3+a}=\frac{2+b}{b(a+3)}\)

\(x-2y+4=0 \Rightarrow x=2y-4 \Rightarrow 3(2y-4)+y-9=0\\ \Rightarrow y=3, x=2 \Rightarrow C(2,3)\\ r=d(C,p)= \frac{\left | 3\cdot 2+4\cdot 3+2 \right |}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=\frac{20}{5}=4\\ k:(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=4^{2}\\ x^{2}-4x+y^{2}-6y-3=0\)

\(\left | a+\frac{1}{a} \right |=3 \Rightarrow \left ( a+\frac{1}{a} \right )^{2}=9\\ \Rightarrow a^{2}+\frac{1}{a^{2}}=7\\ \left ( a-\frac{1}{a} \right )=a^{2}-2+\frac{1}{a^{2}}=5 \Rightarrow\\ \left | a-\frac{1}{a} \right |=\sqrt{5}\)

Збир унутрашњих углова петоугла је \((5 — 2) \cdot 180° = 540°\). По условима задатка углови су \(3t, 4t, 5t, 7t, 8t,\) па је \((3 + 4 + 5 + 7 + 8)t = 540°\). Следи \(t = 20°\), па је разлика највећег и најмањег угла \(8t-3t = 100°\).

\(\left( 1-sin\frac{\pi}{8} \right)\left( 1+sin\frac{\pi}{8} \right)=\)

\(= 1-sin^2\frac{\pi}{8} = \cos^2 \frac{\pi}{8}=\frac{1+\cos\frac{\pi}{4}}{2}=\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}=\)

\(=\frac{2+\sqrt{2}}{4}\)

Ако је висина ваљка и купе \(H\), полупречник њихове основе \(r\), а изводница купе \(s\), следи да је  \(r^2+H^2=s^2\).

Како је однос \(H:s=4:5\), следи да је\(H=4k\) и \(s=5k\), при чему је \(k \in N\). Сада је:

\(r^2+(4k)^2=(5k)^2\)

\(r^2=9k^2\)

\(r=3k\)

Однос површине ваљка и купе је сада:

\(\frac{P_v}{P_k}=\frac{2r^2\pi +2r\pi H}{r^2\pi+r\pi s}\)

Ако уврстимо одговарајуће вредности за \(H\), \(s\) и \(r\), добијамо:

\(\frac{P_v}{P_k}=\frac{7k}{4k}=\frac{7}{4}\)

\(P_v:P_k=7:4\)

Како је \((x+y)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}x^ky^{n-k}\), за трећи члан биномног коефицијента је \(k=2\), четврти \(k=3\) и пети \(k=4\).

\(k=2\), \(b_1=\frac{14}{9}C_2^n=\frac{14}{9}{n \choose 2}=\frac{7n(n-1)}{9}\)

\(k=3\), \(b_2=C_3^n={n \choose 3}=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}\)

\(k=4\), \(b_3=C_4^n={n \choose 4}=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}\)

Сада из \(\frac{b_2}{b_1}=\frac{b_3}{b_2}\) следи да је \(\frac{\frac{n(n-1)(n-2)}{6}}{\frac{7n(n-1)}{9}}=\frac{\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}}{\frac{n(n-1)(n-2)}{6}}\).

После сређивања добијамо \(n=9\).

\(\left( \sqrt[3]{x}+\frac{1}{\sqrt{x}} \right)^9=\displaystyle\sum_{k=0}^{9}(\sqrt[3]{x})^k\left( \frac{1}{\sqrt{x}} \right)^{9-k}=\displaystyle\sum_{k=0}^{9}x^{\frac{5}{6}k-\frac{9}{2}}\)

Како је потребно одредити биномни коефицијент уз \(\sqrt{x}\) тражимо коефицијент чије \(k\) добијамо из:

\({9 \choose k}x^{\frac{5}{6}k-\frac{9}{2}}={9 \choose k}x^\frac{1}{2}\)

\(\frac{5}{6}k-\frac{9}{2}=\frac{1}{2}\)

\(k=5\), па је то шести члан у развоју бинома.

\({9 \choose 6}=84\)

\(3 tg^{2}x-8\cos^{2} x+1=0\\ 3 \frac{1-\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x}-8\cos^{2} x+1=0\\ \cos x=t\\ 3\frac{1-t^{2}}{t^{2}}-8t^{2}+1=0\\ 8t^{4}+2t^{2}-3=0\\ t^{2}=u\\ 8u^{2}+2u-3=0 \Rightarrow u=\frac{1}{2} \vee u=-1\\ u=\frac{1}{2} \Rightarrow t=\frac{\sqrt{2}}{2} \vee t=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \cos x=\frac{\sqrt{2}}{2} \vee \cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ x=\frac{\pi }{4} \vee x=\frac{7\pi }{4} \vee x=\frac{3\pi }{4} \vee x=\frac{5\pi }{4}\)

\(|4^{3x}-2^2\cdot 2^{4x}\cdot 3\cdot3^{x}+20\cdot36^x|\geq8\cdot6^x(\frac{1}{8}\cdot8^{x}+6^x)\)

\(|64^{x}-12\cdot 48^{x}+20\cdot36^x|\geq48^x+8\cdot 36^x\)

\(|\left(\frac{4}{3}\right)^{2x}-12\cdot \left(\frac{4}{3}\right)^{x}+20\cdot1|\geq\left(\frac{4}{3}\right)^{x}+8\)

Ако је \(\left(\frac{4}{3}\right)^{x}=z\), онда је:

\(|z^{2}-12\cdot z^{x}+20|\geq z+8\).

\(|(a-10)(a+2)|\geq a^{x}+8\)

1. За \(z\in (-\infty, 2]\) је \(z^2-12z+20\geq z+8\). Решење је \(z\in (-\infty, 1]\)
2. За \(z\in (2, 10]\) је \(-z^2+12z-20\geq z+8\). Решење је \(z\in [4, 7]\)
3. За \(z\in (10, +\infty]\) је \(z^2-12z+20\geq z+8\). Решење је \(z\in [12, +\infty)\)

Коначно решење је:

\(z\in (-\infty, 1] \cup[4,7]\cup[12, +\infty)\)

Решење је облика:

\(z\in (-\infty, a] \cup[b,c]\cup[d, +\infty)\)

\(a=9\sqrt{2}, b=21\)
\(c=\sqrt{a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }=\sqrt{162+441-378}=15\)
Из једнокраког правоуглог троугла следи да је \(h=9\)
\(P=\frac{21\cdot 9}{2}=\frac{189}{2}\)
\(p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{9\sqrt{2}+36}{2}\)
\(P=rp=\frac{abc}{4R} \Rightarrow R=\frac{abc}{4P}=\frac{15\sqrt{2}}{2}\)
\(r=\frac{P}{p}=\frac{21}{\sqrt{2}+4}=6-\frac{3\sqrt{2}}{2}\)
\(r+R=\frac{15\sqrt{2}}{2}+6-\frac{3\sqrt{2}}{2}=6(\sqrt{2}+1)\)

Нека је \(p: \sqrt{2}x+y=1\) и \(q: 2x+\sqrt{2}y=3\sqrt{2}\).

У експлицитном облику је \(p: y=-\sqrt{2}x+1\) и \(q: y=-\sqrt{2}x+3\), те због истог коефицијента правца закључујемо да су ове две праве паралелне.

У општем облику је \(p: \sqrt{2}x+y-1=0\) и \(q: \sqrt{2}x+y-3=0\).

Растојање између паралелних правих \(A_1x+B_1y+C_1=0\)  и \(A_1x+B_1y+C=0\) ћемо наћи по обрасцу \(\delta = \frac{C_1-C}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}}\).

Стога је \(\delta = \frac{2\sqrt{3}}{3}\).

По Питагориној теореми, друга катета је \(b=15cm\). Како је површина правоуглог троугла \(\frac{ab}{2}\), а и \(\frac{(a+b+c)r}{2}\) (где je r полупречник уписаног круга), следи \(r=\frac{ab}{a+b+c}=3\).

\(\sqrt{3\cdot 2^{\log_{10}2x}+1}+\sqrt{2\cdot 2^{\log_{10}2x}+9}=\sqrt{13\cdot 2^{\log_{10}2x}-4}\)
\(3\cdot 2^{\log_{10}2x}+1 \geqslant 0 \wedge 2\cdot 2^{\log_{10}2x}+9\geqslant 0 \wedge 13\cdot 2^{\log_{10}2x}-4 \)\(\geqslant 0\)
\(2^{\log_{10}2x}=t\)
\(3t+1+2t+9+2\sqrt{(3t+1)(2t+9)}=13t-4\)
\(\sqrt{(3t+1)(2t+9)}=4t-7 /^{2} (t\geqslant \frac{7}{4})\)
\(2t^{2}-17+8=0 \Rightarrow t=8 \vee t=\frac{1}{2}\)
\(x=500 \vee x= \frac{1}{20} , \) али је због услова једино решење: \(x=500\)

\( \sqrt{1-x}=-x  \setminus ^2 \)
\(1-x=x^2\)
\(x^2+x-1=0\)
\(x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\)

Потребно је да размотримо два услова, први – вредност под кореном мора бити ненегативна  \(1-x\geq 0\), односно \(x \leq 1\) и други – резултат кореновања је позитиван \(-x\geq 0\) односно \(x \leq 0\). Па закључујемо да \(x \leq 0\), тако да обацујемо решење \(x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\). 
Једначина има тачно једно решење и оно је негативно.

Како су \(a,b,c\)  (тим редом) узастопни чланови аритметичког низа, следи \(2b=a+c\), па како је и \(a+b+c=18\), следи \(b=6, a+c=12\). Како су \(a,b,c+1\)  (тим редом) узастопни чланови геометријског низа, следи \(b^2=a(c+1)\), па из \(c=12-a, b=6\) следи \(0=a^2-13a+36=(a-4)(a-9)\). Како је полазни аритметички низ растући, следи \(a=4, c=8\) па је \(a^2+b^2+c^2=116\).

Средимо почетну неједначину \(\frac{x}{x+2} \leq \frac{1}{1-x}\) .
\(\frac{x-x^2-x-2}{(x+2)(x-1)} \leq 0 \)
\(\frac{-x^2-2}{(x+2)(x-1)} \leq 0 \) , направимо таблицу како бисмо одредили интервал у коме ће вредност са леве стране неједнакости бити мањи од 0.

Дакле ако \(x\in (-2,1)\)збир свих целих бројева из тог интервала је \(-1+0=-1\). 

Како је \(0,0010101 \cdot 10^{k}>1001\) и \(k \in Z \), следи да је \(10^{k}> \frac{1001}{10101} \cdot 10^7\).

После скраћивања разломка са \(91\) добијамо \(10^{k}> \frac{11}{111} \cdot 10^7\).

Следи да је \(10^{k}> \frac{11}{111} \cdot 10 \cdot 10^6\), односно \(1 \cdot 10^{k}> \frac{110}{111} \cdot 10^6\).

Како је \(1 > \frac{110}{111}\approx0,99\), следи да је \(k=6 \).